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La mwdgdimensione (dal mwdwlatino mweamweqdimensio, "misura") è, essenzialmente, il numero di mweggradi di libertà disponibili per il mwewmovimento di un mwfapunto materiale in uno mwfqspazio. Nell'uso comune, le dimensioni di un oggetto diventano le mwfgmisure che ne definiscono la mwfwforma e la grandezza. Questo significato è collegato all'uso che se ne fa in questa voce, ma se ne discosta sotto diversi aspetti.

• Dimensioni fisiche

• Dimensioni matematiche

• Dimensione di Hamel

• Dimensione di Lebesgue

• Dimensione di Hausdorff

• Dimensione di Krull

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Lo mwgwspaziotempo in cui viviamo può essere interpretato dall'inizio del secolo scorsocite-ref-1[1] essere uno mwiaspazio di Hilbert almeno quadridimensionalecite-ref-2[2]. Convenzionalmente si separa alle distanze e velocità della nostra esperienza quotidiana in tre dimensioni spaziali e una dimensione temporale, con un totale di quattro dimensioni. Possiamo muoverci in alto o in basso, a nord o a sud, a est o a ovest, e i movimenti in ogni direzione possono essere espressi in termini di questi tre movimenti. Un movimento verso il basso è equivalente a un movimento verso l'alto di una quantità negativa. Un movimento a nord-ovest è semplicemente una combinazione di un movimento a nord e di un movimento a ovest.

Il tempo è spesso indicato come "quarta dimensione". È in qualche modo differente dalle tre dimensioni spaziali dal momento che ne esiste solo una, e il movimento sembra possibile solo in una direzione. Al livello macroscopico i processi fisici non sono mwjgsimmetrici rispetto al tempo. Invece a livello subatomico (mwjwscala di Planck), quasi tutti i processi fisici sono mwkasimmetrici rispetto al tempo (cioè le equazioni usate per descrivere questi processi sono le stesse indipendentemente dalla direzione del tempo), benché questo non implichi che le particelle subatomiche possano muoversi indietro nel tempo.

Alcune teorie dell'ultimo mezzo secolo come la mwkgteoria delle stringhe ipotizzano che lo spazio in cui viviamo abbia molte più dimensioni (spesso 10, 11 o 26), ma che l'universo misurato lungo queste dimensioni aggiuntive abbia grandezza subatomica.

In mwlqmatematica, non esiste una definizione di dimensione che comprenda adeguatamente tutte le situazioni in cui vorremmo farne uso. Di conseguenza, i mwlgmatematici hanno ideato molte definizioni di dimensione per diversi tipi di spazio. Tutte, comunque, sono in definitiva basate sul concetto di mwlwdimensione di uno spazio vettoriale, come ad esempio uno mwmaspazio euclideo mwmqEmwmgmwmw mwnan di dimensione mwnqn: un punto mwngEmwnwmwoa 0 è uno spazio 0-dimensionale, una retta mwoqEmwogmwow 1 è 1-dimensionale, un piano mwpaEmwpqmwpg 2 è 2-dimensionale, in generale mwpwEmwqamwqq mwqgn è mwqwn-dimensionale.

Un tesseratto o mwrqipercubo è un esempio di un oggetto quadridimensionale.

Come nota storica, si può ricordare che nella letteratura matematica del passato era assai utilizzato il termine mwrwiperspazio per designare spazi con più di 3 dimensioni.

Nel resto della voce esaminiamo alcune delle più importanti definizioni di dimensione matematica.

Per gli mwswspazi vettoriali e gli mwtaspazi di Hilbert, la nozione naturale di mwtqdimensione corrisponde formalmente alla mwtgcardinalità delle sue mwtwbasi di Hamel. Una mwuavarietà differenziabile, topologica e mwuqconnessa è localmente mwugomeomorfa a uno spazio euclideo, quindi si può dimostrare che la sua dimensione è unicamente definita per ogni varietà differenziabile, topologica e connessa. La mwuwtopologia algebrica è caratterizzata dal fatto che i casi in una o due dimensioni sono relativamente elementari, i casi con dimensioni elevate (mwvan > 4) sono semplificati dal fatto di avere dimensioni aggiuntive in cui lavorare, e i casi con mwvqn = 3 e 4 sono in un certo senso i più difficili. Questo stato delle cose è stato sottolineato dalla mwvgcongettura di Poincaré, dove sono utilizzati quattro differenti metodi di dimostrazione.

La mwwqdimensione di uno mwwgspazio topologico è generalizzata servendosi del concetto di mwwwBase di Schauder al più piccolo intero mwxan tale per cui vale ogni mwxqricoprimento aperto ha un raffinamento (un secondo ricoprimento nella quale ogni elemento è un sottoinsieme di un elemento del primo) in cui nessun punto è incluso in più di mwxgn + 1 elementi. Per le varietà differenziabili, coincide con la dimensione di Hamel. Se non esiste mwxwn, allora la dimensione è infinita.

La mwygdimensione degli mwywspazi metrici come i mwzafrattali è l'mwzqestremo inferiore di tutti gli mwzgh > 0 tali che, per ogni δ > 0, mwzwE può essere coperto da una mwaaquantità numerabile di insiemi chiusi di diametro ≤ δ, e la somma di tutte le potenze mwaqs-esime di questi diametri è minore o uguale ad mwagh. Diversamente dalle precedenti può avere valori non interi.

La mwbqdimensione di un mwbganello commutativo è definita come il massimo numero di inclusioni strette in una catena crescente di mwbwideali primi nell'anello.

cite-note-11. ↑ in particolare dopo la prima conferma della mwdgrelatività generale del mwdw1919

cite-note-22. ↑ nel senso di Hamel, come si vedrà in seguito

• Thomas Banchoff, mwfwBeyond the Third Dimension: Geometry, Computer Graphics, and Higher Dimensions, Second Edition, 1996, Freeman

• mwgqClifford A. Pickover, mwggSurfing through Hyperspace: Understanding Higher Universes in Six Easy Lessons, 1999, Oxford University Press

• mwhaRudy Rucker, mwhqThe Fourth Dimension, 1984, Houghton-Mifflin

• mwhwEdwin A. Abbott, mwiamwiqFlatlandia (mwigFlatland), 1884

• mwjgAnalisi dimensionale

• mwkaDimensione (spazio vettoriale)

• Dimensione (varietà algebrica)

• mwlaDimensione di Hausdorff

• Dimensione di Kaplan-Yorke

• mwmaDimensione di Krull

• Dimensione di Lyapunov

• mwnaDimensione di Minkowski-Bouligand

• Dimensione esteriore

• mwoaDimensione isoperimetrica

• mwogDimensione topologica

• Esponente di Hurst

• mwpgTeorema delle intersezioni dimensionali

Altri progetti

• Wikizionario

• Wikimedia Commons

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «dimensione»

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla dimensione

• citereftreccani-itDimensione, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefenciclopedia-italiana-1938Giovanni Giorgi, DIMENSIONI, in Enciclopedia Italiana, I Appendice, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1938.

• citerefenciclopedia-italiana-1931Federico Enriques, DIMENSIONI, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1931.

• citerefdizionario-delle-scienze-fisicheDimensione, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.

• citerefsapere-itdimensióne, su sapere.it, De Agostini.

• citerefenciclopedia-della-matematicaDimensione, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

• citerefbritannica-com(EN) dimension, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

• citerefencyclopedia-of-science-fiction(EN) Dimensions, su The Encyclopedia of Science Fiction.

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Dimension, su MathWorld, Wolfram Research.

• citerefspringereom(EN) Dimension, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.